為學(xué)生上 “有意義”的數(shù)學(xué)課

我個(gè)人認(rèn)為，要為學(xué)生上“有意義”的數(shù)學(xué)課。這樣的數(shù)學(xué)課堂，不能止于知識(shí)的傳承，要關(guān)注內(nèi)容的本源，學(xué)習(xí)深刻的數(shù)學(xué)，要基于數(shù)學(xué)的邏輯引導(dǎo)學(xué)生掌握發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的方法。

 “做影響學(xué)生一生發(fā)展的數(shù)學(xué)教育”幾乎是每位數(shù)學(xué)教師的愿景。1996年，我懷著對教育的夢想，踏上了神圣的教育講臺(tái)，26年來，我一直在思考，我的數(shù)學(xué)教學(xué)要帶給學(xué)生什么。

個(gè)人簡介

潘洪艷，山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)正高級(jí)數(shù)學(xué)教師。全國優(yōu)秀教師，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)獲得者，齊魯名師，山東省教學(xué)能手，山東省三八紅旗手，山東省省級(jí)學(xué)科工作坊主持人，山東師范大學(xué)、濟(jì)南大學(xué)校外研究生指導(dǎo)教師。主持多項(xiàng)科研課題，在全國中文核心期刊發(fā)表論文多篇，出版專著《高中數(shù)學(xué)教與研的實(shí)踐與思考》。

從“教什么”到“如何教”

當(dāng)年，一位教授曾在我大學(xué)畢業(yè)時(shí)叮囑我：“年輕教師面臨的最大問題是學(xué)科視野的局限性。”初入教壇的我雖深以為然，但還是認(rèn)為以自己優(yōu)秀的學(xué)業(yè)水平，教好課是沒有問題的。但是當(dāng)我把準(zhǔn)備了十幾遍的第一節(jié)課一口氣講完時(shí)，自己也覺得不對勁——我的課堂成了教師自己的課堂，學(xué)生在哪兒？正當(dāng)我充滿疑惑時(shí)，我的導(dǎo)師邵麗云老師問我：“你的數(shù)學(xué)課要帶給學(xué)生什么？”

這一問讓我猶如醍醐灌頂。為了想清楚自己究竟要帶給學(xué)生什么，我開始大量閱讀教育教學(xué)著作、專業(yè)期刊，在對照中不斷反思自己的教學(xué)行為；主動(dòng)去資深教師的課堂上聽課，看他們?nèi)绾雾槕?yīng)學(xué)生思維捕捉教學(xué)契機(jī)；積極參加團(tuán)隊(duì)教研活動(dòng)，在交流與分享中積累教學(xué)智慧。 

在這一過程中，我逐漸明白自己要教什么。數(shù)學(xué)要帶給學(xué)生“知”與“識(shí)”，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、感知數(shù)學(xué)、建立數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的過程。如橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)有很多選擇：有生活場景，圓柱形水杯與桌面成30度夾角時(shí)的水面邊緣、球的點(diǎn)光源投影或手電筒射出光束與黑板面角度不同時(shí)投射出的光圈曲線等；有應(yīng)用場景，如行星圍繞恒星的運(yùn)行軌道等；有歷史背景，可通過追溯圓錐曲線的歷史，介紹古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》等。這些均可引導(dǎo)學(xué)生理解橢圓為何產(chǎn)生以及橢圓的產(chǎn)生過程，借助當(dāng)?shù)绿m雙球?qū)嶒?yàn)得到數(shù)量關(guān)系，“畫”橢圓、“折”橢圓，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中理解數(shù)學(xué)。

下一步，我開始思考不同課型該如何教。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和形式，數(shù)學(xué)課型可分為新授課（概念課、規(guī)則課）、復(fù)習(xí)課、講評(píng)課、探究課、建模課等。新授課關(guān)注“為什么”“是什么”“如何想的”“從哪里想的”“還有什么”，教學(xué)中重視情境構(gòu)建、把握本質(zhì)、關(guān)注遷移；復(fù)習(xí)課重視對學(xué)生系統(tǒng)構(gòu)建能力的培養(yǎng)，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深化理解、整體構(gòu)建，關(guān)注思維生長；講評(píng)課則由例及類，深度促思；探究課關(guān)注數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”；建模課關(guān)鍵在于“過程”“實(shí)踐”“活動(dòng)”。

在研究如何教的過程中，我逐漸領(lǐng)悟教師不僅要清楚教什么，更要思考不教什么。教師應(yīng)適時(shí)成為學(xué)生的“身后人”，把發(fā)現(xiàn)留給學(xué)生、把“漁場”留給學(xué)生、把個(gè)性體驗(yàn)留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)自主探究的樂趣。

從“如何教”到“為什么教”

一次期末考試，學(xué)生的成績差異很大，一些考試結(jié)果不理想的學(xué)生情緒低落，反映試題難度大，部分題目不適應(yīng)。問題出在哪里？仔細(xì)分析試題之后，我發(fā)現(xiàn)整套試題對數(shù)學(xué)能力考查全面，部分題目背景新穎，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的滲透以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)閱讀、知識(shí)遷移、數(shù)學(xué)建模等都提出了較高要求。學(xué)生成績差異拉大，說明我課堂上的教與學(xué)都需要改進(jìn)。

這讓我再次思考：我的數(shù)學(xué)教學(xué)要培育學(xué)生什么？從“教什么”到“如何教”，需要明確“為什么而教”“為什么這樣教”。我個(gè)人認(rèn)為，要為學(xué)生上“有意義”的數(shù)學(xué)課。這樣的數(shù)學(xué)課堂，不能止于知識(shí)的傳承，要關(guān)注內(nèi)容的本源，學(xué)習(xí)深刻的數(shù)學(xué)，要基于數(shù)學(xué)的邏輯引導(dǎo)學(xué)生掌握發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的方法。

在這一理念下，我的課堂教學(xué)也在發(fā)生改變。如函數(shù)概念的教學(xué)，這是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的第一個(gè)一般意義上的抽象概念。經(jīng)過思考，我決定選擇兩個(gè)教學(xué)立足點(diǎn)——初中定義和豐富實(shí)例，并通過活動(dòng)設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)實(shí)踐中抽象出集合對應(yīng)下的函數(shù)概念，體會(huì)初中定義的“動(dòng)”與高中定義的“靜”，讓學(xué)生明白：為什么學(xué)——采用“集合—對應(yīng)”說的必要性；學(xué)什么——概念與研究過程（路徑）；怎么學(xué)——研究方法，讓數(shù)學(xué)教學(xué)的“明”線更明、“暗”線不暗。

學(xué)生的課堂反饋也給予我信心。在總結(jié)課堂感悟時(shí)，就有學(xué)生表示“我感覺到數(shù)學(xué)抽象的力量”“我學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)走向抽象化和符號(hào)化”“我學(xué)到了如何去研究一個(gè)概念”“我覺得變量說與集合對應(yīng)說是從不同角度和立場去認(rèn)識(shí)函數(shù)”，甚至還有學(xué)生能清晰說出自己是怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的。

我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中為自己加上“研究者”這一身份時(shí)，他們就會(huì)積極調(diào)動(dòng)自身的主動(dòng)性，基于數(shù)學(xué)邏輯實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)。在講解函數(shù)奇偶性的課堂上，我問：“幾個(gè)函數(shù)圖像除了顯示單調(diào)性是否還有其他特征？”學(xué)生不僅回答“對稱性”，還能說出“類比單調(diào)性的研究方法，要定量描述對稱性”。再比如教數(shù)列時(shí)，我提出：“研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，需要經(jīng)歷一個(gè)怎樣的研究過程？”學(xué)生們嘗試運(yùn)用建構(gòu)學(xué)習(xí)新概念的一般學(xué)習(xí)方法去研究數(shù)列，遇到新問題也會(huì)積極探究、迎難而上。

數(shù)學(xué)概念的發(fā)展史本質(zhì)上是一個(gè)不斷抽象的過程，根據(jù)歷史相似性原則，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科發(fā)展歷史的視角進(jìn)行研究。如函數(shù)概念的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生查閱史料，從格雷戈里、牛頓、萊布尼茨、歐拉、柯西、戴德金、布爾巴基學(xué)派等數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)分析函數(shù)概念的各階段，體會(huì)其發(fā)展與演變。再如對數(shù)的教學(xué)，課上關(guān)注整體性，以追溯運(yùn)算的發(fā)展歷程為對數(shù)的生成找到支點(diǎn)，理解對數(shù)的存在意義；課下指導(dǎo)學(xué)生梳理史料，從早期的簡化運(yùn)算的思想到奈皮爾、別爾基創(chuàng)立對數(shù)，再到對數(shù)符號(hào)的發(fā)明以及我國數(shù)學(xué)家對對數(shù)的研究，引導(dǎo)學(xué)生通過梳理脈絡(luò)追溯對數(shù)的發(fā)展，理解對數(shù)的本源。立足于概念發(fā)展的本源去研究概念，意在讓學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，感悟數(shù)學(xué)中的科學(xué)精神。

當(dāng)然，教學(xué)沒有固定模式?！暗离m邇，不行不至；事雖小，不為不成?！敝挥刑鲆蜓嘏f的教學(xué)“舒適區(qū)”，在繼承優(yōu)良傳統(tǒng)、借鑒先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上大膽創(chuàng)新，才有可能創(chuàng)造、發(fā)展更多的可能性。

從“我教學(xué)生”到“師生共進(jìn)”

教學(xué)是師生相互促進(jìn)、結(jié)伴成長的歷程。學(xué)生在教師用心創(chuàng)造的環(huán)境中發(fā)展才智與潛能，同時(shí)教師也不斷被學(xué)生新的探索所激勵(lì)，促進(jìn)教學(xué)相長。

在多年教學(xué)過程中，我逐漸認(rèn)識(shí)到，教師是學(xué)生內(nèi)在生長力量的“喚醒者”。于是，通過梳理多年的教學(xué)與教研實(shí)踐，我進(jìn)一步完善課堂教學(xué)觀，打造高中數(shù)學(xué)“生”“動(dòng)”思維課堂——生即生成、生動(dòng)、“生”動(dòng)，動(dòng)即動(dòng)態(tài)、主動(dòng)、互動(dòng)。

教學(xué)是生成的，課堂是動(dòng)態(tài)的，這個(gè)過程充滿著師生在共同思考中相互激發(fā)的力量。曾有一次在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義坐標(biāo)化、移項(xiàng)平方后的等式有這樣的幾何特征：橢圓上點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與到一條定直線的距離之比是焦距與長軸的比。他提出：“滿足這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓嗎？”由此引發(fā)其他學(xué)生對方程的研究興趣，接著又有學(xué)生提出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形后有幾何特征：“橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與長軸兩端點(diǎn)連線斜率之積為一個(gè)定值，那么滿足這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓嗎？”學(xué)生們接二連三的提問激發(fā)了我，于是我決定調(diào)整教學(xué)方案，轉(zhuǎn)而由“數(shù)”到“形”，以橢圓為例展現(xiàn)解析幾何的特征，讓學(xué)生完整理解坐標(biāo)法?？煜抡n時(shí)，我建議學(xué)生“繼續(xù)研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，能否有新的發(fā)現(xiàn)”，于是經(jīng)過學(xué)生們自己的思考與探討，一篇篇關(guān)于如何得到橢圓、解析幾何初識(shí)等主題的數(shù)學(xué)小論文在班級(jí)里形成了。

而后，我又把視線聚焦于課程，課程的品質(zhì)決定著育人的品質(zhì)，面對高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)，我和同事們對本校的數(shù)學(xué)課程進(jìn)行了整合，打造出數(shù)學(xué)博學(xué)課程、數(shù)學(xué)空間課程、數(shù)學(xué)登攀課程三大課程群，以及“三引”教學(xué)體系。分層與精準(zhǔn)相結(jié)合的教學(xué)體系，在為學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，也為學(xué)生不同的志趣和發(fā)展提供了個(gè)性化成長的空間。

多年來，我收獲了一屆屆學(xué)生豐厚的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)回報(bào)，和學(xué)生們一起享受著師生共進(jìn)的快樂。有名學(xué)生說，數(shù)學(xué)課原來是“玄之又玄”，現(xiàn)在是“眾妙之門”。一名原本對數(shù)學(xué)發(fā)怵的女生悄悄告訴我：“老師，我才發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)世界也可以這樣繽紛美麗！”其實(shí)我也想對我的學(xué)生們說：謝謝你們，這個(gè)過程是我們用彼此的智慧和激情共同完成的，它讓我在課堂上體驗(yàn)到生命的增值與律動(dòng)！

“數(shù)學(xué)教學(xué)的探索永無止境，但我們有一顆滾燙的敬業(yè)樂業(yè)之心，鐘情于數(shù)學(xué)教學(xué)，踏踏實(shí)實(shí)，不懈追求，必然在數(shù)學(xué)教學(xué)的征途上留下一串串閃光的腳印，年齡隨著時(shí)光而老去，但教育的心永遠(yuǎn)是年輕的?！边@是我的導(dǎo)師邵麗云老師曾說過的一段話，它時(shí)刻鞭策我永葆初心，在數(shù)學(xué)教學(xué)的探索征途中馳而不息，努力為學(xué)生上一堂又一堂“有意義”的數(shù)學(xué)課。

《中國教育報(bào)》2022年10月21日第9版